مسائل تطبيقية في التفاضل

مسائل تطبيقية في التفاضل

يتناول هذا الدرس تطبيقات المشتقة في حل المسائل الواقعية والهندسية والفيزيائية، ومن أبرزها إيجاد القيم العظمى والصغرى لدالة معينة.

خطوات الحل العامة

• نرسم مخططاً (إن أمكن) ونكوّن الدالة التي تصف المسألة بدلالة متغير واحد ونحدد مجالها.
• نشتق الدالة ونساوي المشتقة الأولى بالصفر لإيجاد الأعداد الحرجة، ونهمل القيم غير المعقولة (خارج المجال).
• نستخدم اختبار المشتقة الثانية ($f'(c)=0$ و $f''(c)<0$ عظمى، $f''(c)>0$ صغرى) أو إشارة المشتقة الأولى لتمييز النوع؛ وإذا كانت $f''(c)=0$ نعود لإشارة المشتقة الأولى.
• إذا كان المجال فترة مغلقة نقارن قيم الدالة في طرفي الفترة وفي الأعداد الحرجة: أكبرها العظمى وأصغرها الصغرى.
• نتحقق من الحل ومطابقته لشروط المسألة.

تشمل التطبيقات مسائل المعدلات الزمنية المرتبطة، وتعظيم المساحات أو الحجوم، وتقليل المحيطات والكلف، وحساب السرعة والتسارع باعتبارها معدلات تغير.