تطبيقات القيم العظمى والصغرى

تطبيقات عملية على القيم العظمى أو الصغرى

تُستخدم القيم العظمى والصغرى لإيجاد أكبر مساحة أو أكبر حجم أو أقل محيط أو أقل كلفة ونحو ذلك.

خطوات الحل كما في الكتاب

1. نرسم مخططاً للمسألة (إن أمكن) ونعين عليه الأجزاء المهمة.
2. نكوّن الدالة المراد إيجاد قيمتها العظمى أو الصغرى بدلالة متغير واحد (مستعينين بعلاقة بين المتغيرات كمبرهنة فيثاغورس أو تشابه المثلثين) ونحدد مجالها.
3. نشتق ونجد الأعداد الحرجة من $f'(x)=0$، ونهمل القيم غير المعقولة؛ ففي صندوق مصنوع من مربع ضلعه $12cm$ بقص مربعات ضلعها $x$ يكون $0
4. نحدد نوع النقطة باختبار المشتقة الثانية أو بإشارة المشتقة الأولى.
5. إذا كان المجال فترة مغلقة نجد قيم الدالة في طرفي الفترة وفي الأعداد الحرجة، فأكبرها القيمة العظمى وأصغرها القيمة الصغرى.

اختبار المشتقة الثانية

• إذا كان $f'(c)=0$ و $f''(c)<0$ فإن $f$ تمتلك نهاية عظمى محلية عند $x=c$.
• إذا كان $f'(c)=0$ و $f''(c)>0$ فإن $f$ تمتلك نهاية صغرى محلية عند $x=c$.
• إذا كانت $f''(c)=0$ أو غير معرفة فلا يصح هذا الاختبار ويعاد باستخدام المشتقة الأولى؛ مثلاً $f(x)=4-(x+1)^4$ فيها $f''(-1)=0$ لكن إشارة $f'$ تتغير من موجبة إلى سالبة فلها نهاية عظمى محلية $f(-1)=4$.