تعريف القطع المخروطي

القطوع المخروطية

إذا قُطع سطح المخروط الدائري القائم:

• بمستوٍ عمودي على محوره ولا يحوي رأسه فالمقطع دائرة (Circle).
• بمستوٍ موازٍ لأحد مولداته فالمقطع قطع مكافئ (Parabola).
• بمستوٍ غير موازٍ لقاعدته ولا يوازي أحد مولداته فالمقطع قطع ناقص (Ellipse).
• بمستوٍ يوازي محوره ويقطع مولدين من مولداته فالمقطع قطع زائد (Hyperbola).

تعريف القطع المخروطي

لتكن $(x_1,y_1)$ نقطة ثابتة في المستوي و $ax+by+c=0$ مستقيماً ثابتاً في المستوي نفسه، عندئذٍ مجموعة كل النقاط التي نسبة بُعد كل منها عن النقطة $(x_1,y_1)$ إلى بُعدها عن المستقيم تساوي عدداً ثابتاً $(e)$ تكوّن شكلاً هندسياً يسمى القطع المخروطي.

لكل قطع مخروطي (ما عدا الدائرة) ثلاثة مفاهيم أساسية:

• البؤرة (Focus): النقطة الثابتة $(x_1,y_1)$.
• الدليل (Directrix): المستقيم الثابت $ax+by+c=0$.
• الاختلاف المركزي (Eccentricity): النسبة $e$.

في القطع المكافئ $e=1$، وفي القطع الناقص $01$.

المعادلة العامة للقطع المخروطي

بُعد النقطة $(x,y)$ عن البؤرة $\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}$ وبُعدها عن الدليل $\dfrac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$، ونسبتهما تساوي $e$، وبتربيع الطرفين:

$$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=e^2\cdot\frac{(ax+by+c)^2}{a^2+b^2}$$

وهي معادلة من الدرجة الثانية، ونطبّقها على القطع المكافئ لأن دليله معرَّف.