المعدلات الزمنية المرتبطة

المعدلات الزمنية المرتبطة

إذا وُجد أكثر من متغير وكانت قيمة كل منها تتوقف على متغير واحد يسمى (بارامتر) ومثاله الزمن $t$، فإن المتغيرات كلها تتغير تبعاً لتغيره، وتسمى معدلات تغيرها المعدلات الزمنية المرتبطة (أو المعدلات المرتبطة أو المعدلات الزمنية فقط). فإذا كان $x=f(t)$ و $y=g(t)$ فإن $\frac{dx}{dt}=f'(t)$ و $\frac{dy}{dt}=g'(t)$ هما المعدلان الزمنيان لتغير $x$ و $y$.

وإذا ارتبط المتغيران بمعادلة نشتق طرفيها بالنسبة للزمن $t$ (بقاعدة السلسلة)، فمن $x^2+y^2-4y+6x=0$ نحصل على $2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}-4\frac{dy}{dt}+6\frac{dx}{dt}=0$.

خطوات الحل كما في الكتاب

1. ارسم مخططاً للمسألة (إن احتجت) وحدد المتغيرات والثوابت وضع لها الرموز، وحدد العلاقة الرئيسية في الحل.
2. حاول إيجاد علاقة أخرى بين المتغيرات لتقليل عددها، مثل تشابه المثلثين في المخروط: $\frac{r}{h}=\frac{8}{24}\Rightarrow r=\frac{1}{3}h$، أو مبرهنة فيثاغورس في مسألة السلم.
3. اشتق الطرفين بالنسبة للزمن $t$.
4. عوّض معطيات السؤال بعد الاشتقاق.

الإشارة: المعدل السالب يعني نقصاناً؛ فتسرب الماء بمعدل $0.4\,m^3/h$ يُكتب $\frac{dv}{dt}=-0.4$. وإذا صُبّ السائل وتسرب في الوقت نفسه فإن $\frac{dv}{dt}=$ معدل الصب $-$ معدل التسرب.