القيم العظمى والصغرى المحلية ومبرهنة رول

القيمة العظمى والصغرى والعدد الحرج

إذا كانت $f$ معرفة على $[a,b]$ ولها قيمة عظمى أو صغرى عند $c\in(a,b)$ وكانت $f'(c)$ موجودة فإن $f'(c)=0$ (أي المماس عندها أفقي). ولا يُشترط أن تكون $f'(c)=0$: فالدالة $f(x)=|x|$ على $[-1,1]$ تمتلك أصغر قيمة عند $x=0$ مع أن $f'(0)$ غير موجودة.

العدد الحرج: لتكن $f$ معرفة عند العدد $c$؛ يقال إن $c$ عدد حرج إذا كان $f'(c)=0$ أو كانت الدالة غير قابلة للاشتقاق في $c$، وتسمى النقطة $(c,f(c))$ النقطة الحرجة.

مبرهنة رول

إذا كانت الدالة $f$: (1) مستمرة في الفترة المغلقة $[a,b]$، (2) قابلة للاشتقاق في الفترة المفتوحة $(a,b)$، (3) $f(a)=f(b)$؛ فإنه يوجد على الأقل قيمة واحدة $c\in(a,b)$ تحقق $f'(c)=0$.

طريقة الحل: نتحقق من الشروط الثلاثة بالترتيب، ثم نحل $f'(c)=0$ ونقبل فقط قيم $c$ التي تنتمي إلى $(a,b)$. إذا لم يتحقق أي شرط (مثل عدم الاستمرارية أو $f(a)\neq f(b)$) فإن المبرهنة لا تتحقق. وللدالة الثابتة $f(x)=k$ يمكن أن تكون $c$ أي قيمة في $(a,b)$.

التزايد والتناقص واختبار المشتقة الأولى

لتكن $f$ مستمرة في $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق في $(a,b)$: إذا كانت $f'(x)>0$ لكل $x\in(a,b)$ فإن $f$ متزايدة، وإذا كانت $f'(x)<0$ لكل $x\in(a,b)$ فإن $f$ متناقصة.

• نجد الأعداد الحرجة بحل $f'(x)=0$، ثم نختبر إشارة $f'(x)$ على خط الأعداد بجوار كل منها.
• إذا كانت إشارة $f'$ موجبة قبل $x_1$ وسالبة بعده فالنقطة $(x_1,f(x_1))$ نقطة نهاية عظمى محلية و $f(x_1)$ النهاية العظمى المحلية.
• إذا كانت سالبة قبل $x_1$ وموجبة بعده فهي نقطة نهاية صغرى محلية.
• إذا لم تتغير إشارة $f'$ قبل $x_1$ وبعده فلا توجد عندها نهاية عظمى ولا صغرى.