مبرهنة القيمة المتوسطة والتقريب باستخدامها

مبرهنة القيمة المتوسطة

إذا كانت $f$ دالة مستمرة في الفترة المغلقة $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $(a,b)$ فإنه يوجد على الأقل قيمة واحدة $c\in(a,b)$ تحقق: $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ أو $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$.

التفسير الهندسي: ميل الوتر $\overline{AB}$ الواصل بين $A(a,f(a))$ و $B(b,f(b))$ يساوي $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$، وميل المماس عند $c$ هو $f'(c)$، والمماس يوازي الوتر فيتساوى ميلاهما.

مبرهنة رول حالة خاصة من مبرهنة القيمة المتوسطة: عندما $f(a)=f(b)$ يصبح ميل الوتر صفراً فنحصل على $f'(c)=0$.

طريقة الحل: نتحقق من الشرطين، ثم نساوي ميل المماس $f'(c)$ بميل الوتر ونحل، ونقبل فقط قيم $c$ التي تنتمي إلى $(a,b)$ (مثلاً $f(x)=\sqrt{25-x^2}$ على $[-4,0]$ تعطي $c=\pm\sqrt5$ فنقبل $c=-\sqrt5$ فقط).

نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة والتقريب

بفرض $h=b-a$ أي $b=a+h$ حيث $h\neq0$ نحصل على $f(a+h)=f(a)+hf'(c)$، وعندما تكون $h$ صغيرة يصبح:

$f(a+h)\cong f(a)+hf'(a)$، ويسمى المقدار $hf'(a)$ التغير التقريبي للدالة.

• نكتب الدالة $f$ المناسبة للمقدار المطلوب ونشتقها.
• نختار $a$ قيمة سهلة قريبة من $b$ (أقرب مربع كامل أو مكعب كامل مثلاً) ونحسب $h=b-a$، وقد تكون $h$ سالبة كما في $\sqrt[3]{7.8}$ حيث $a=8$ و $h=-0.2$.
• نعوض: $f(b)\cong f(a)+hf'(a)$.

ويقتصر الكتاب في حل تمارين التقريب على نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة فقط.