التقعر والتحدب

تقعر وتحدب المنحنيات ونقط الانقلاب

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في الفترة المفتوحة $(a,b)$ فيقال إن $f$ مقعرة (Concave up) إذا كانت $f'$ متزايدة خلال تلك الفترة، ومحدبة (Concave down) إذا كانت $f'$ متناقصة خلالها.

• المنحني مقعر في $(a,b)$ ⟺ المنحني يقع فوق جميع مماساته في $(a,b)$.
• المنحني محدب في $(a,b)$ ⟺ المنحني يقع تحت جميع مماساته في $(a,b)$.

مبرهنة: إذا كانت $f$ معرفة في $[a,b]$ ولها مشتقة أولى وثانية على $(a,b)$ فإنها مقعرة على $(a,b)$ إذا كانت $f''(x)>0$ لكل $x\in(a,b)$، ومحدبة على $(a,b)$ إذا كانت $f''(x)<0$ لكل $x\in(a,b)$.

نقطة الانقلاب: هي النقطة التي تنتمي لمنحني الدالة ويتغير عندها المنحني من تقعر إلى تحدب أو بالعكس. نحل $f''(x)=0$ ثم ندرس إشارة $f''(x)$ على خط الأعداد حول كل قيمة:

• $f(x)=x^3$: $f''(x)=6x$ سالبة قبل $0$ (تحدب) وموجبة بعده (تقعر)، فالنقطة $(0,0)$ نقطة انقلاب.
• $h(x)=4-(x+2)^4$: $h''(-2)=0$ لكن الدالة محدبة على جهتي $-2$، فلا توجد نقطة انقلاب؛ إذن $f''=0$ وحدها لا تكفي.
• $f(x)=x+\frac{1}{x}$: محدبة في $\{x:x<0\}$ ومقعرة في $\{x:x>0\}$ ولا توجد نقطة انقلاب لأن $0$ لا ينتمي لمجال الدالة.