مفاهيم المعادلات التفاضلية (الرتبة والدرجة والحل)

المعادلة التفاضلية الاعتيادية

المعادلة التفاضلية هي المعادلة التي تحتوي على مشتقة واحدة أو أكثر للدالة المجهولة في المعادلة (أي للمتغير التابع). والمعادلة التفاضلية الاعتيادية (O.D.E) هي علاقة بين متغير مستقل $x$ ودالته غير المعروفة $y$ وبعض مشتقات $y$ بالنسبة إلى $x$، مثل $\frac{dy}{dx}=3y-4x$ و $x^2y''+5xy'-x^3y=0$.

الرتبة والدرجة

• الرتبة (المرتبة) Order: رتبة أعلى مشتقة في المعادلة.
• الدرجة Degree: أكبر قوة (أس) مرفوعة له أعلى مشتقة في المعادلة.

أمثلة من الكتاب: $(y''')^3+y'-y=0$ من الرتبة الثالثة والدرجة الثالثة؛ $y''+2y(y')^3=0$ من الرتبة الثانية والدرجة الأولى (الأس 3 على $y'$ لا على أعلى مشتقة)؛ $(\frac{dy}{dx})^4=x^3-5$ من الرتبة الأولى والدرجة الرابعة.

ملاحظة: إذا احتوت المعادلة على جذور أو أسس كسرية للمشتقات نزيلها أولاً ثم نحدد الدرجة. مثلاً $(y'')^2=\sqrt{1+(y')^2}$ تصبح بالتربيع $(y'')^4=1+(y')^2$ فهي من الرتبة الثانية والدرجة الرابعة.

حل المعادلة التفاضلية [5-2]

حل المعادلة التفاضلية هو أية علاقة بين متغيرات المعادلة بحيث تكون هذه العلاقة: (أ) خالية من المشتقة، (ب) معرفة على فترة معينة، (جـ) تحقق المعادلة التفاضلية.

طريقة التحقق: نشتق العلاقة المعطاة بقدر رتبة المعادلة، ثم نعوض في الطرف الأيسر LHS والطرف الأيمن RHS؛ إذا تساويا كانت العلاقة حلاً، وإلا فليست حلاً. مثال: $y=3\cos 2x+2\sin 2x$ ⇐ $y''=-12\cos 2x-8\sin 2x$، فيكون $y''+4y=0$ فهي حل للمعادلة $y''+4y=0$. أما $y^2=3x^2+x^3$ فباشتقاقها ضمنياً مرتين نجد $yy''+(y')^2=3+3x$ فيكون $yy''+(y')^2-3x=3\neq 5$ فليست حلاً للمعادلة $yy''+(y')^2-3x=5$.

الحل الخاص والحل العام [5-3]

الحل العام هو الحل المشتمل على عدد من الثوابت الاختيارية مساوٍ لرتبة المعادلة (ثابت واحد لمعادلة الرتبة الأولى، وثابتان لمعادلة الرتبة الثانية ...). والحل الخاص حلٌّ لا يحتوي ثوابت اختيارية (أو تُعيَّن ثوابته بشروط معطاة). مثلاً $\frac{dy}{dx}-5y=0$ يحققها الحل الخاص $y=e^{5x}$ وحلها العام $y=ce^{5x}$؛ و $\frac{d^2y}{dx^2}+y=0$ تحققها الحلول الخاصة $y=\sin x$ و $y=\cos x$ وحلها العام $y=A\sin x+B\cos x$.

وطريقة حل المعادلات التي يقتصر عليها الكتاب هي فصل المتغيرات (الدرس التالي).