حل المعادلات التفاضلية بطريقة فصل المتغيرات

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى [5-4]

حل المعادلة التفاضلية عمل معاكس لعملية التفاضل، أي يقوم على التكامل. تأخذ المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى أحد الشكلين: $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ أو $M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$. مثلاً $\frac{dy}{dx}=\frac{3xy}{x+y}$ تُكتب $(3xy)\,dx-(x+y)\,dy=0$.

من أنواع هذه المعادلات: التي تنفصل متغيراتها، المتجانسة، التامة، الخطية (برنولي)، ويقتصر الكتاب على النوع الأول: المعادلات التي تنفصل متغيراتها.

طريقة فصل المتغيرات [5-5]

1. نعزل الحدود التي تحتوي على $x$ فقط مع $dx$ في جانب، والحدود التي تحتوي على $y$ فقط مع $dy$ في الجانب الآخر، فنحصل على الصورة $g(y)\,dy=f(x)\,dx$.
2. نكامل الطرفين: $\int g(y)\,dy=\int f(x)\,dx+c$ حيث $c$ ثابت اختياري، فنحصل على الحل العام.
3. أي مضاعف أو دالة للثابت الاختياري ثابتٌ اختياري أيضاً، فنُسمّي مثلاً $2c=c_1$ أو $e^{c}=c_1$.
4. إذا أُعطي شرط مثل ($y=9$ عندما $x=2$) نعوّضه في الحل العام لإيجاد $c$ فنحصل على الحل الخاص.

أمثلة من الكتاب: $\frac{dy}{dx}=\frac{x-1}{y}$ ⇐ $y\,dy=(x-1)dx$ ⇐ $y^2=x^2-2x+c_1$. و $dy=\sin x\cos^2y\,dx$ ⇐ $\sec^2y\,dy=\sin x\,dx$ ⇐ $\tan y=-\cos x+c$. و $y'-x\sqrt{y}=0$ مع $y=9$ عندما $x=2$: $y^{-\frac12}dy=x\,dx$ ⇐ $2\sqrt{y}=\frac12x^2+c$ ⇐ $c=4$ ⇐ $y=(\frac14x^2+2)^2$. و $(x+1)\frac{dy}{dx}=2y$ ⇐ $\ln|y|=\ln(x+1)^2+c$ ⇐ $y=\pm c_1(x+1)^2$.