مبرهنة ديمواڤر

مبرهنة ديموافر

إذا كان $z_1=\cos\theta+i\sin\theta$ و $z_2=\cos\varphi+i\sin\varphi$ فإن $z_1z_2=\cos(\theta+\varphi)+i\sin(\theta+\varphi)$، أي عند الضرب تُجمع السعتان، وعندما $\theta=\varphi$: $(\cos\theta+i\sin\theta)^2=\cos 2\theta+i\sin 2\theta$. وقد عمّم ديموافر (1664-1754) هذه العلاقة:

المبرهنة: لكل $\theta\in R$ و $n\in N$ فإن $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$.

• لعدد مركب $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$: $z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$، ثم نختصر الزاوية بطرح مضاعفات $2\pi$. مثلاً $(1+i)^{11}=(\sqrt{2})^{11}\left(\cos\dfrac{11\pi}{4}+i\sin\dfrac{11\pi}{4}\right)=32(-1+i)$.
• $(\cos\theta-i\sin\theta)^n=\cos n\theta-i\sin n\theta$.
• للأس السالب: $(\cos\theta+i\sin\theta)^{-1}=\cos\theta-i\sin\theta$، وبصورة عامة $(\cos\theta+i\sin\theta)^{-n}=\cos n\theta-i\sin n\theta$.

نتيجة المبرهنة: الجذور النونية

لكل $\theta\in R$ و $n\in Z^+$: $\sqrt[n]{z}=r^{\frac{1}{n}}\left[\cos\dfrac{\theta+2\pi k}{n}+i\sin\dfrac{\theta+2\pi k}{n}\right]$ حيث $k=0,1,2,\dots,n-1$، فللعدد $n$ من الجذور. مثلاً لحل $x^3+1=0$: $x^3=\cos\pi+i\sin\pi$ فيكون $x=\cos\dfrac{\pi+2k\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi+2k\pi}{3}$ ، $k=0,1,2$، والجذور $\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ ، $-1$ ، $\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$.