الصيغة القطبية للعدد المركب

الصيغة القطبية للعدد المركب

إذا مثّلنا العدد المركب $z=x+yi$ بالنقطة $p(x,y)$ فإن $(r,\theta)$ هما الإحداثيان القطبيان للنقطة $p$، حيث $r=\|\overrightarrow{op}\|$ و $\theta$ قياس الزاوية من $\overrightarrow{ox}$ إلى $\overrightarrow{op}$ (موجبة عكس عقارب الساعة، سالبة مع عقارب الساعة، بالقياس الدائري)، و:

• $R(z)=x=r\cos\theta$ و $I(z)=y=r\sin\theta$.
• $r$ يسمى مقياس العدد المركب ويقرأ mod z: $r=\|z\|=\sqrt{x^2+y^2}$ وهو عدد حقيقي غير سالب.
• $\theta$ تسمى سعة العدد المركب $\theta=\arg(z)$، حيث $\cos\theta=\dfrac{x}{\|z\|}$ و $\sin\theta=\dfrac{y}{\|z\|}$.

للسعة عدد غير منتهٍ من القيم $\theta+2n\pi$ ($n$ عدد صحيح)، والقيمة التي تقع في $[0,2\pi)$ تسمى القيمة الأساسية للسعة. سعة العدد $z=0$ غير معرفة.

طريقة إيجاد القيمة الأساسية للسعة

نحسب $\|z\|$ ثم $\cos\theta$ و $\sin\theta$، ومن إشارتيهما نحدد الربع؛ فإذا كانت الزاوية الحادة المناظرة $\alpha$ فإن: الربع الأول $\theta=\alpha$، الثاني $\theta=\pi-\alpha$، الثالث $\theta=\pi+\alpha$، الرابع $\theta=2\pi-\alpha$. مثلاً $z=-1-i$: $\|z\|=\sqrt{2}$ و $\theta=\pi+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}$.

الصيغة القطبية

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=\|z\|(\cos(\arg z)+i\sin(\arg z))$. ومن ذلك: $1=\cos 0+i\sin 0$ ، $i=\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}$ ، $-1=\cos\pi+i\sin\pi$ ، $-i=\cos\dfrac{3\pi}{2}+i\sin\dfrac{3\pi}{2}$، فمثلاً $-7i=7\left(\cos\dfrac{3\pi}{2}+i\sin\dfrac{3\pi}{2}\right)$.