الزاوية الزوجية والمستويات المتعامدة

الزاوية الزوجية [6-2]

الزاوية الزوجية: اتحاد نصفي مستويين لهما حافة (Edge) مشتركة. تسمى الحافة المشتركة حرف الزاوية الزوجية، ويسمى كل من نصفي المستويين وجه الزاوية الزوجية. يُعبَّر عنها بالرمز $(X)-\overleftrightarrow{AB}-(Y)$، وقد يُعبَّر عنها بحرفها $\overleftrightarrow{AB}$ وحده إن لم يكن مشتركاً مع زاوية زوجية أخرى. وعندما تكون أربع نقاط ليست في مستوٍ واحد نكتب $A-\overleftrightarrow{BC}-D$ أي الزاوية الزوجية بين المستويين $(ABC)$ و $(DBC)$.

الزاوية المستوية العائدة لزاوية زوجية: هي الزاوية التي ضلعاها عموديان على حرف الزاوية الزوجية من نقطة تنتمي إليه وكل منهما في أحد وجهي الزاوية الزوجية. أي نأخذ $D\in\overleftrightarrow{AB}$ ونرسم $\overrightarrow{DC}\subset(X)$ و $\overrightarrow{DE}\subset(Y)$ عموديين على $\overleftrightarrow{AB}$، فتكون $\angle CDE$ هي الزاوية العائدة.

• قياس الزاوية العائدة لزاوية زوجية ثابت.
• قياس الزاوية الزوجية يساوي قياس الزاوية العائدة لها وبالعكس.
• تعريف: إذا كانت الزاوية الزوجية قائمة فإن المستويين متعامدان وبالعكس: $m\,(X)-\overleftrightarrow{AB}-(Y)=90^\circ \Leftrightarrow (X)\perp(Y)$.

المبرهنات

• مبرهنة (7): إذا تعامد مستويان فالمستقيم المرسوم في أحدهما والعمودي على مستقيم التقاطع يكون عمودياً على المستوي الآخر.
• نتيجة مبرهنة (7): إذا تعامد مستويان فالمستقيم المرسوم من نقطة في أحدهما عمودياً على المستوي الآخر يكون محتوى فيه.
• مبرهنة (8): كل مستوٍ مار بمستقيم عمودي على مستوٍ آخر يكون عمودياً على ذلك المستوي (يتعامد المستويان إذا احتوى أحدهما على مستقيم عمودي على الآخر).
• مبرهنة (9): من مستقيم غير عمودي على مستوٍ معلوم يوجد مستوٍ وحيد عمودي على المستوي المعلوم.
• نتيجة مبرهنة (9): إذا كان كل من مستويين متقاطعين عمودياً على مستوٍ ثالث فإن مستقيم تقاطعهما يكون عمودياً على المستوي الثالث.

طريقة إيجاد قياس زاوية زوجية

نرسم من نقطة في أحد الوجهين عموداً على الحرف (في المستوي الواحد)، ونستعمل مبرهنة الأعمدة الثلاثة (من الصف الخامس) لإثبات أن المستقيم الواصل من نقطة الوجه الآخر عمودي على الحرف أيضاً، فنحصل على الزاوية العائدة، ثم نحسب قياسها من مثلث قائم بالنسب المثلثية. ونكتب البرهان بالمعطيات والمطلوب إثباته والبرهان مع ذكر السبب لكل خطوة.