الجذور التربيعية للعدد المركب

الجذور التربيعية للعدد المركب

إذا كان $a$ عدداً حقيقياً موجباً فإن له جذرين تربيعيين حقيقيين هما $\pm\sqrt{a}$، وإذا كان $a=0$ فله جذر واحد هو $0$.

الجذران التربيعيان لعدد حقيقي سالب

نفرض $c^2=-25$ فيكون $c=\pm\sqrt{-25}=\pm\sqrt{25}\,i=\pm 5i$، وكذلك جذرا $-17$ هما $\pm\sqrt{17}\,i$.

الجذران التربيعيان لعدد مركب $a+bi$

1. نفرض أن الجذر التربيعي هو $x+yi$ حيث $x,y\in R$، فيكون $(x+yi)^2=a+bi$.
2. نفك التربيع ونعوّض $i^2=-1$: $(x^2-y^2)+2xyi=a+bi$.
3. من تعريف تساوي عددين مركبين: $x^2-y^2=a$ ... (1) و $2xy=b$ ... (2)، ومن (2) نكتب $y$ بدلالة $x$.
4. نعوّض في (1) ونضرب الطرفين في $x^2\ne 0$ فنحصل على معادلة من الدرجة الرابعة نحللها، ونهمل الحل الذي يكون فيه $x^2$ سالباً لأن $x\in R$.
5. نعوّض قيمتي $x$ في (2) لنجد $y$ المقابلة لكل منهما (جدول $x$ ، $y$).

فنحصل على جذرين تربيعيين كل منهما النظير الجمعي للآخر، مثل جذري $8+6i$ وهما $3+i$ و $-3-i$، وجذري $8i$ وهما $\pm(2+2i)$.