حل المعادلة التربيعية في مجموعة الاعداد المركبة

حل المعادلة التربيعية في مجموعة الأعداد المركبة

للمعادلة $ax^2+bx+c=0$ حيث $a\ne 0$ و $a,b,c\in R$ حلان نجدهما بالدستور $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. إذا كان المقدار المميز $b^2-4ac$ سالباً فلا يوجد للمعادلة حلول حقيقية، ولكن يوجد لها حلان في مجموعة الأعداد المركبة، ونكتب جذر المقدار السالب بدلالة $i$. مثلاً: $x^2+4x+5=0 \Rightarrow x=\dfrac{-4\pm\sqrt{-4}}{2}=-2\pm i$.

مجموع الجذرين وحاصل ضربهما

• مجموع الجذرين $x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}$ وحاصل ضربهما $x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$.
• أولاً: إذا كانت المعاملات حقيقية وكان $x+yi$ (حيث $y\ne 0$) أحد الجذرين فإن الجذر الآخر هو المرافق $x-yi$.
• ثانياً: بقسمة المعادلة على $a$ نحصل على: $x^2-(\text{مجموع الجذرين})x+(\text{حاصل ضرب الجذرين})=0$، وبها نكوّن المعادلة التربيعية إذا عُلم جذراها، مثل جذرين $\pm(2+2i)$: المجموع $0$ والضرب $-8i$ فالمعادلة $x^2-8i=0$.
• لتكوين معادلة معاملاتها حقيقية عُلم أحد جذريها $3-4i$: الجذر الآخر هو المرافق $3+4i$، المجموع $6$ والضرب $9+16=25$، فالمعادلة $x^2-6x+25=0$.

إذا كانت المعاملات غير حقيقية (مثل $z^2-3z+3+i=0$) نستعمل الدستور أيضاً، لكن المقدار تحت الجذر قد يكون عدداً مركباً فنجد جذريه التربيعيين بطريقة البند السابق، ولا يكون الجذران بالضرورة مترافقين.