الجذور التكعيبية للواحد الصحيح

الجذور التكعيبية للواحد الصحيح

إذا كان $z$ أحد الجذور التكعيبية للواحد الصحيح فإن $z^3=1$، أي $z^3-1=0 \Rightarrow (z-1)(z^2+z+1)=0$، فإما $z=1$ أو $z^2+z+1=0$ التي نحلها بالدستور: $z=\dfrac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$.

إذن الجذور التكعيبية للواحد الصحيح هي: $1$ ، $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ ، $-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$. الجذران التخيليان مترافقان، ومربع أي منهما يساوي الآخر، فإذا رمزنا لأحدهما بالرمز $\omega$ (أوميكا) كان الآخر $\omega^2$، والجذور هي $1,\ \omega,\ \omega^2$.

الخواص

• (1) $1+\omega+\omega^2=0$ ومنها: $\omega+\omega^2=-1$ ، $1+\omega=-\omega^2$ ، $1+\omega^2=-\omega$ ، $\omega-\omega^2=\pm\sqrt{3}\,i$.
• (2) $\omega^3=1$ ومنها: $\omega^{3n+r}=\omega^r$ حيث $n$ عدد صحيح و $r=0,1,2$؛ أي باقي قسمة أس $\omega$ على $3$ هو الأس الجديد. مثلاً $\omega^{25}=\omega^{3(8)+1}=\omega$ ، $\omega^{-58}=\omega^{3(-20)+2}=\omega^2$.

نستعمل هذه الخواص لتبسيط المقادير وإثبات المتطابقات، مثل $(5+3\omega+3\omega^2)^2=[5+3(\omega+\omega^2)]^2=(5-3)^2=4$، ولتكوين معادلة تربيعية جذراها بدلالة $\omega$ بإيجاد مجموع الجذرين وحاصل ضربهما.