اشتقاق الدوال الاسية واللوغارتمية

اشتقاق الدوال الأسية واللوغارتمية

يرد هذا الموضوع في الكتاب ضمن البند [4-7] اللوغارتم الطبيعي من فصل التكامل. يُعرَّف اللوغارتم الطبيعي بأنه $\ln x=\int_1^x\frac{1}{t}\,dt$ لكل $x>0$، ومنه $\ln 1=0$، ومن المبرهنة الأساسية للتكامل: $\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$.

• بقاعدة السلسلة، إذا كانت $u$ دالة موجبة قابلة للاشتقاق: $\frac{d}{dx}(\ln u)=\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{dx}$؛ مثلاً $\frac{d}{dx}\ln(3x^2+4)=\frac{6x}{3x^2+4}$.
• الدالة الأسية $e^x$ هي عكس دالة اللوغارتم الطبيعي، و $\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$، وبصورة عامة $\frac{d}{dx}(e^u)=e^u\cdot\frac{du}{dx}$؛ مثلاً $\frac{d}{dx}e^{\tan x}=e^{\tan x}\sec^2x$.
• إذا كان $a$ عدداً موجباً فإن $a^u=e^{u\ln a}$، ومنه $\frac{d}{dx}(a^u)=a^u\cdot\frac{du}{dx}\cdot\ln a$؛ مثلاً $\frac{d}{dx}3^{2x-5}=(2\ln3)\,3^{2x-5}$.
• للضرب والقسمة نستعمل قواعد الاشتقاق المعروفة، مثلاً $\frac{d}{dx}(x^2e^x)=2xe^x+x^2e^x$.

وتقود صيغ التفاضل هذه إلى صيغ التكامل: $\int\frac{du}{u}=\ln|u|+c$ و $\int e^u\,du=e^u+c$.