المساحة بين منحنيين وبين منحني ومحور السينات

المساحة بين منحنيين وبين منحني ومحور السينات

لتكن $f$ مستمرة على $[a,b]$ ، و $A$ مساحة المنطقة المحددة بمنحنيها ومحور السينات والمستقيمين $x=a$ ، $x=b$:

• إذا كانت $f(x)>0$ فإن $A=\int_a^b f(x)\,dx$ ، وإذا كانت $f(x)<0$ فإن $A=-\int_a^b f(x)\,dx$.
• إذا أخذت $f$ قيماً موجبة وسالبة نتبع الخطوات: (1) نحل $f(x)=0$. (2) نستعمل الحلول التي تنتمي إلى الفترة لتجزئة $[a,b]$ إلى فترات جزئية. (3) نكامل على كل فترة جزئية. (4) نجمع القيم المطلقة للتكاملات: $A=|A_1|+|A_2|+\dots$. إذا لم تُعطَ الفترة فحدودها نقاط تقاطع المنحني مع محور السينات.

المساحة بين منحنيين $f$ و $g$ المستمرتين على $[a,b]$:

• إذا كانت $f(x)>g(x)$ فإن $A=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx$ ، وإذا كانت $f(x)
• إذا تقاطع المنحنيان نحل $f(x)=g(x)$ ، ونجزّئ الفترة عند نقاط التقاطع، ثم نجمع القيم المطلقة لتكاملات الفرق $f-g$ على الفترات الجزئية. إذا لم تُعطَ فترة فحدود التكامل هي نقاط التقاطع.

المسافة [4-8-3]: إذا كانت $V(t)$ سرعة جسم يتحرك على خط مستقيم فإن المسافة المقطوعة في $[t_1,t_2]$ هي $d=\left|\int_{t_1}^{t_2}V(t)\,dt\right|$ (نجزّئ الفترة عند $V(t)=0$ إذا غيّر الجسم اتجاهه ونجمع القيم المطلقة)، أما الإزاحة فهي $S=\int_{t_1}^{t_2}V(t)\,dt$ وقد تكون صفراً أو سالبة. والسرعة من التعجيل: $V=\int a(t)\,dt$. المسافة كمية غير متجهة، والإزاحة والسرعة والتعجيل كميات متجهة.