تكاملات الدوال الدائرية

تكاملات الدوال الدائرية

نستنتج تكامل كل دالة دائرية من جدول الدوال المقابلة (نتحقق منه بإثبات أن $F'(x)=f(x)$)، ونضيف ثابت التكامل $C$:

• $\int\sin(ax+b)\,dx=-\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C$ ، $\int\cos(ax+b)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax+b)+C$.
• $\int\sec^2(ax+b)\,dx=\frac{1}{a}\tan(ax+b)+C$ ، $\int\csc^2(ax+b)\,dx=-\frac{1}{a}\cot(ax+b)+C$.
• $\int\sec ax\tan ax\,dx=\frac{1}{a}\sec ax+C$ ، $\int\csc ax\cot ax\,dx=-\frac{1}{a}\csc ax+C$.
• قوى الدوال الدائرية بقاعدة $\int[f(x)]^n f'(x)\,dx$: مثل $\int\sin^4x\cos x\,dx=\frac{1}{5}\sin^5x+C$ و $\int\tan^6x\sec^2x\,dx=\frac{1}{7}\tan^7x+C$. وفي القوى الفردية نجزّئ: $\cos^3x=\cos x(1-\sin^2x)$.

تكامل الدوال المثلثية التربيعية [4-6-1] باستخدام المتطابقات:

• $\int\tan^2\theta\,d\theta=\int(\sec^2\theta-1)\,d\theta=\tan\theta-\theta+C$.
• $\int\cot^2\theta\,d\theta=\int(\csc^2\theta-1)\,d\theta=-\cot\theta-\theta+C$.
• $\int\sin^2\theta\,d\theta=\int\frac{1-\cos2\theta}{2}\,d\theta=\frac{1}{2}\theta-\frac{1}{4}\sin2\theta+C$.
• $\int\cos^2\theta\,d\theta=\int\frac{1+\cos2\theta}{2}\,d\theta=\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin2\theta+C$.

في التكامل المحدد نطبّق $F(b)-F(a)$، مثل $\int_0^{\frac{\pi}{3}}\sec x\tan x\,dx=\sec\frac{\pi}{3}-\sec0=2-1=1$.