تكاملات الدوال اللوغارتمية والاسية

اللوغاريتم الطبيعي وتكاملات الدوال اللوغارتمية والأسية

تعريف: $\ln x=\int_1^x \frac{1}{t}\,dt$ لكل $x>0$. فيكون $\ln 1=0$ ، و $\ln x>0$ عندما $x>1$ ، و $\ln x<0$ عندما $0

• من النظرية الأساسية للتكامل: $\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$ ، وبقاعدة السلسلة $\frac{d}{dx}(\ln u)=\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{dx}$.
• ومنه صيغة التكامل: $\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C$ ، أي $\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$ (البسط مشتقة المقام). مثال: $\int\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}\,d\theta=\ln|1+\sin\theta|+C$.
• الدالة الأسية $e^x$ هي عكس دالة اللوغاريتم الطبيعي، و $\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$ ، $\frac{d}{dx}(e^u)=e^u\cdot\frac{du}{dx}$.
• ومنه $\int e^u\,du=e^u+C$. مثال: $\int x\,e^{x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{x^2}(2x)\,dx=\frac{1}{2}e^{x^2}+C$.
• إذا كان $a$ عدداً موجباً فإن $a^u=e^{u\ln a}$ ، و $\frac{d}{dx}(a^u)=a^u\cdot\frac{du}{dx}\cdot\ln a$.

نضيف ثابت التكامل $C$ في كل تكامل غير محدد، ونطبق $F(b)-F(a)$ في التكامل المحدد.