العمليات على مجموعة الاعداد المركبة

العمليات على مجموعة الأعداد المركبة

العدد المركب يكتب على الصورة $a+bi$ حيث $a$ الجزء الحقيقي و $b$ الجزء التخيلي. ويتساوى عددان مركبان إذا تساوى جزءاهما الحقيقيان وتساوى جزءاهما التخيليان.

أولاً: الجمع والطرح

• $c_1+c_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$، أي نجمع الأجزاء الحقيقية معاً والأجزاء التخيلية معاً.
• مجموعة الأعداد المركبة مغلقة تحت عملية الجمع لأن $R$ مغلقة تحت الجمع.
• خواص الجمع: الإبدالية، التجميعية، العنصر المحايد الجمعي $e=0=0+0i$، والنظير الجمعي لكل عدد $c=a+bi$ هو $-c=-a-bi$.
• طرح عدد مركب من آخر يساوي جمع الأول مع النظير الجمعي للثاني: $(7-13i)-(9+4i)=(7-13i)+(-9-4i)=-2-17i$.
• لحل معادلة مثل $(2-4i)+x=-5+i$ نضيف النظير الجمعي $(-2+4i)$ للطرفين فيكون $x=-7+5i$.

ثانياً: الضرب

• نضرب العددين المركبين بصفتهما مقدارين جبريين ونعوّض $i^2=-1$: $c_1\cdot c_2=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i$.
• إذا كان $m\in R$ فإن $m(a+bi)=ma+mbi$.
• مجموعة الأعداد المركبة مغلقة تحت الضرب، والضرب إبدالي وتجميعي، والعنصر المحايد الضربي هو $1=1+0i$، ولكل عدد مركب $c\ne 0$ نظير ضربي $\dfrac{1}{c}$ ينتمي إلى $\mathbb{C}$.