الحاجة الى توسيع مجموعة الاعداد الحقيقية

الحاجة الى توسيع مجموعة الاعداد الحقيقية

للمعادلة الخطية حل واحد في مجموعة الأعداد الحقيقية، لكن بعض المعادلات التربيعية لا يوجد لها حل في هذه المجموعة، مثل $x^2+1=0$ و $x^2+4x+5=0$، وهي المعادلات التي يكون مميزها $b^2-4ac$ عدداً سالباً. لذلك ظهرت الحاجة الى توسيع مجموعة الأعداد الحقيقية الى مجموعة أوسع منها هي مجموعة الأعداد المركبة $\mathbb{C}$.

عند حل $x^2=-1$ لا نجد عدداً حقيقياً مربعه $-1$، لذلك نفترض وجود عدد غير حقيقي يساوي $\sqrt{-1}$ نرمز له بالرمز $i$ ويسمى الوحدة التخيلية. العدد $i$ يحقق الخواص الجبرية للأعداد الحقيقية ما عدا خاصية الترتيب.

قوى العدد i

• $i^2=-1$ ، $i^3=-i$ ، $i^4=1$.
• بصورة عامة: $i^{4n+r}=i^r$ حيث $n\in w$ و $r=0,1,2,3$؛ أي نقسم أس $i$ على $4$ والباقي هو الأس الجديد، فالناتج أحد عناصر المجموعة $\{1,-1,i,-i\}$. مثلاً $i^{99}=i^3=-i$.
• للأس السالب نضرب البسط والمقام بقوة من مضاعفات 4: $i^{-13}=\dfrac{1}{i^{13}}=\dfrac{i^{16}}{i^{13}}=i^3=-i$.

جذر العدد الحقيقي السالب

$\sqrt{-a}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{a}\,i$ لكل $a\ge 0$، فمثلاً $\sqrt{-16}=4i$ و $\sqrt{-12}=2\sqrt{3}\,i$.

العدد المركب

• العدد $c=a+bi$ حيث $a,b$ عددان حقيقيان يسمى عدداً مركباً، $a$ جزؤه الحقيقي و $b$ جزؤه التخيلي، وتسمى $a+bi$ الصيغة العادية أو الجبرية، ويناظر الزوج المرتب $(a,b)$.
• العدد $bi$ عدد تخيلي بحت، والعدد $a=a+0i$ عدد حقيقي بحت، لذلك $R\subset\mathbb{C}$.
• تساوي عددين مركبين: $a_1+b_1i=a_2+b_2i \Leftrightarrow a_1=a_2,\ b_1=b_2$. نستعمله لإيجاد المجاهيل الحقيقية بمساواة الجزأين الحقيقيين والجزأين التخيليين.