القطع الناقص

القطع الناقص (Ellipse)

التعريف: القطع الناقص مجموعة من النقط في المستوي التي يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين (البؤرتان) عدداً ثابتاً هو $2a$، أي $PF_1+PF_2=2a$.

• المركز (Center): منتصف القطعة الواصلة بين البؤرتين.
• المحور البؤري: المستقيم المار بالبؤرتين، ويقطع القطع في الرأسين.
• المحور الكبير: القطعة الواصلة بين الرأسين وطولها $2a$.
• المحور الصغير: عمودي على المحور الكبير من المركز وطوله $2b$، ونهايتاه تسميان القطبين.
• المسافة بين البؤرتين $2c$، و $b^2=a^2-c^2$ أي $c=\sqrt{a^2-b^2}$، حيث $a>c$ و $a>b$.

المعادلة القياسية (المركز نقطة الأصل)

المقام الأكبر هو $a^2$ ويحدد موقع البؤرتين. الاختلاف المركزي $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$ ويكون دائماً أقل من الواحد.

المساحة: $A=ab\pi$، المحيط: $P=2\pi\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$ حيث $\pi=\dfrac{22}{7}$.

باستخدام التعريف: نكتب $\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$، نعزل أحد الجذرين ونربّع، ثم نعزل الجذر الباقي ونربّع مرة ثانية ونبسّط.

الرسم: نعيّن الرأسين $V_1(a,0),V_2(-a,0)$ والنقطتين $M_1(0,b),M_2(0,-b)$ ونصل بينها بمنحنٍ متصل، ثم نعيّن البؤرتين.