القطع الزائد

القطع الزائد (Hyperbola)

التعريف: القطع الزائد هو مجموعة النقط في المستوي التي تكون القيمة المطلقة لفرق بُعدي أي منها عن نقطتين ثابتتين (البؤرتان) عدداً ثابتاً هو $2a$، أي $|PF_1-PF_2|=2a$.

• المحور الحقيقي: تقع عليه البؤرتان والرأسان، وطوله $2a$.
• المحور المرافق (التخيلي): عمودي على المحور الحقيقي ومار بالمركز، وطوله $2b$.
• المسافة بين البؤرتين $2c$، حيث $c>a$ و $b^2=c^2-a^2$ أي $c^2=a^2+b^2$.
• $PF_1$ و $PF_2$ يسميان طولي نصفي القطرين البؤريين المرسومين من النقطة $P$.

المعادلة القياسية (المركز نقطة الأصل)

• البؤرتان على محور السينات: $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$، البؤرتان $(\pm c,0)$ والرأسان $(\pm a,0)$.
• البؤرتان على محور الصادات: $\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$، البؤرتان $(0,\pm c)$ والرأسان $(0,\pm a)$.

الحد الموجب هو الذي يحدد المحور الحقيقي ويكون مقامه $a^2$ (وليس بالضرورة الأكبر). الاختلاف المركزي $e=\dfrac{c}{a}>1$.

القطع الزائد القائم (المتساوي الأضلاع): طول محوره الحقيقي يساوي طول محوره المرافق ($a=b$)، واختلافه المركزي $e=\sqrt2$.

طريقة الرسم: نعيّن $(\pm a,0)$ و $(0,\pm b)$، ونكوّن منها مستطيلاً أضلاعه توازي المحورين، ونرسم قطري المستطيل فهما المستقيمان المحاذيان للمنحني، ثم نعيّن البؤرتين ونرسم ذراعي القطع.