المجاميع العليا والسفلى وتعريف التكامل

التجزئة والمجموعان الأسفل والأعلى – تعريف التكامل المحدد

المنطقة $A$ تحت منحني الدالة $f$ هي مجموعة النقاط المحصورة بين المنحني والمستقيمين $x=a$ ، $x=b$ ومحور السينات. لا يمكن تقسيمها إلى مثلثات ومستطيلات، لذلك نحصر مساحتها بين مجموعَي مساحات مناطق مستطيلة داخلها وخارجها. (ما يُسمّى في كتب أخرى «مجموع ريمان» يقابله في كتابنا المجموع الأسفل والمجموع الأعلى.)

• التجزئة $\sigma=(x_0,x_1,\dots,x_n)$ للفترة $[a,b]$ تقسّمها إلى فترات جزئية. في التجزئة المنتظمة إلى $n$ من الفترات يكون طول كل فترة $h=\frac{b-a}{n}$.
• في كل فترة جزئية $[x_{i-1},x_i]$: $m_i$ أصغر قيمة للدالة و $M_i$ أكبر قيمة لها، ونبحث عنهما عند طرفي الفترة أو عند النقطة الحرجة ($f'(x)=0$) إن وجدت داخلها.
• المجموع الأسفل $L(\sigma,f)=\sum h_i m_i$ والمجموع الأعلى $U(\sigma,f)=\sum h_i M_i$ ، ويكون دائماً $L(\sigma,f)\le U(\sigma,f)$.
• إذا كانت $f(x)\ge 0$ فإن $L(\sigma,f)\le$ مساحة $A\le U(\sigma,f)$ ، والقيمة التقريبية للمساحة $\frac{L(\sigma,f)+U(\sigma,f)}{2}$. أما إذا أخذت $f$ قيماً سالبة فقد يكون $L$ أو $U$ سالباً، لذلك نسمّيهما مجموعين لا مساحتين.
• كلما زادت نقاط التجزئة قلّ الفرق بين $U(\sigma,f)$ و $L(\sigma,f)$ وأصبحت القيمة التقريبية أدق.

مبرهنة [4-3-1]: إذا كانت $f$ مستمرة على $[a,b]$ فإنه يوجد عدد وحيد $k$ بحيث $L(\sigma,f)\le k\le U(\sigma,f)$ لأي تجزئة $\sigma$ للفترة $[a,b]$. نسمّي $k$ التكامل المحدد ونرمز له $\int_a^b f(x)\,dx$ ، ونسمّي $a,b$ حدّي التكامل، وقيمته التقريبية $\frac{L(\sigma,f)+U(\sigma,f)}{2}$.

• إذا كانت $f(x)\ge 0$ على $[a,b]$ فإن $\int_a^b f(x)\,dx$ يساوي مساحة المنطقة تحت المنحني.
• إذا كانت $f(x)\le 0$ فإن $\int_a^b f(x)\,dx\le 0$ والمساحة تساوي $-\int_a^b f(x)\,dx=\left|\int_a^b f(x)\,dx\right|$.

خطوات الحل: (1) نجد $h$ ومنه $\sigma$. (2) نجد $f'(x)$ والنقاط الحرجة. (3) نعمل جدولاً للفترات الجزئية فيه $h_i$ ، $m_i$ ، $M_i$ ، $h_im_i$ ، $h_iM_i$ ومنه نجد $L(\sigma,f)$ و $U(\sigma,f)$.