النظرية الأساسية للتكامل وخواص التكامل المحدد

النظرية الأساسية للتكامل – الدالة المقابلة

مبرهنة [4-4-1]: إذا كانت $f$ دالة مستمرة على الفترة $[a,b]$ فإنه توجد دالة $F$ مستمرة على $[a,b]$ بحيث $F'(x)=f(x)$ لكل $x\in(a,b)$ ، ويكون $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\big[F(x)\big]_a^b$.

• تسمى $F$ الدالة المقابلة للدالة $f$ على $[a,b]$. لإثبات أن $F$ دالة مقابلة لـ $f$ نبيّن أن $F$ مستمرة على $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على $(a,b)$ وأن $F'(x)=f(x)$.
• من جدول الدوال المقابلة: $a\to ax$ ، $x^n\to\frac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\ne-1)$ ، $\sin(ax+b)\to-\frac{1}{a}\cos(ax+b)$ ، $\cos(ax+b)\to\frac{1}{a}\sin(ax+b)$ ، $\sec^2(ax+b)\to\frac{1}{a}\tan(ax+b)$ ، $\csc^2(ax+b)\to-\frac{1}{a}\cot(ax+b)$. ومجموعة الدوال المقابلة لأي دالة هي $F+C$.

خواص التكامل المحدد (للدوال المستمرة على $[a,b]$):

1. إذا كانت $f(x)\ge0$ لكل $x\in[a,b]$ فإن $\int_a^b f(x)\,dx\ge0$ ، وإذا كانت $f(x)\le0$ فإن $\int_a^b f(x)\,dx\le0$.
2. $\int_a^b c\,f(x)\,dx=c\int_a^b f(x)\,dx$ حيث $c$ ثابت.
3. $\int_a^b (f_1\mp f_2)\,dx=\int_a^b f_1\,dx\mp\int_a^b f_2\,dx$.
4. إذا كانت $c\in(a,b)$ فإن $\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$ ، وتُستخدم مع دالة القيمة المطلقة والدوال ذات القاعدتين بعد التحقق من استمرارية الدالة عند نقطة تغيّر القاعدة.
5. $\int_a^a f(x)\,dx=0$ و $\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$.