تكاملات الدوال الجبرية

تكاملات الدوال الجبرية (التكامل غير المحدد)

إذا كانت $F$ دالة مقابلة للدالة $f$ المستمرة على $[a,b]$ (أي $F'(x)=f(x)$) فإنه يوجد عدد لانهائي من الدوال المقابلة لـ $f$ كل منها على الصورة $F+C$ ، والفرق بين أي اثنتين منها عدد ثابت. تسمى مجموعة الدوال المقابلة $F+C$ التكامل غير المحدد للدالة $f$ ، ونكتب $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ حيث $C$ عدد ثابت.

• $\int a\,dx=ax+C$.
• قاعدة القوة: $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ بشرط $n\ne-1$.
• نُخرج الثابت العددي خارج إشارة التكامل، وتكامل مجموع (أو فرق) دوال يساوي مجموع (أو فرق) تكاملاتها.
• تكامل $[f(x)]^n f'(x)$: $\int [f(x)]^n f'(x)\,dx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+C$ بشرط $n\ne-1$. إذا نقصت المشتقة عدداً ثابتاً نضرب داخل التكامل ونقسم خارجه، مثل: $\int(3x^2+8x+5)^6(3x+4)\,dx=\frac{1}{2}\int(3x^2+8x+5)^6(6x+8)\,dx=\frac{1}{14}(3x^2+8x+5)^7+C$.
• قبل التكامل نبسّط المقدار: نفك الأقواس، أو نقسم (مثل $\frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1$)، ونكتب الجذور بصورة أسس كسرية ($\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$).

نتحقق من صحة الناتج باشتقاقه فنحصل على الدالة المُكامَلة.